中心极限定理证明

中心极限定理证明

一、例子

高尔顿钉板试验.

图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.

如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.

二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.

设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.

解:服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.

由德莫佛—拉普拉斯极限定理,

由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.

第二类问题是已知 ……此处隐藏5601个字……p>查表

即

需装62个水龙头。

问题的变形：

（3）至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？

解：欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥66.4

故需要装67个水龙头。

（4）若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？解：（1）

（2）同上。

（5）若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则（1），

（2）两问题结果如何?

解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为x，则

x-b(5000，0.015)

已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75

，

拥挤的概率达

(2)欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥89.14

故需装90个水龙头。

中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

第五章大数定理及中心极限定理

中心极限定理-第四章练习题

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4中心极限定理

中心极限定理和概率统计